Beregning av forventet volatilitet til kurs på underliggende aksje
Volatilitet er et mål på hvor mye aksjekursen svinger rundt aksjens antatte trend. Stor volatilitet innebærer at kursen kan bevege seg sterkt i begge retninger.
Ved verdsetting av opsjoner ønsker vi å estimere en forventet fremtidig volatilitet. Det er i og for seg ikke et poeng at dette må stemme med hva som kommer til å bli den faktiske volatiliteten. Det viktigste er at vi beregner en forventet volatilitet slik markedet ville gjort dette ved verdsetting av opsjoner i dag. Følgende tilnærmingsmåter er aktuelle for å fastsette forventet volatilitet ved verdsetting av opsjoner:
Historisk volatilitet
Forventninger til volatilitet kan være basert på historisk observert volatilitet i aksjen. I beregningen tas det utgangspunkt i observerte aksjekurser i en gitt periode frem til måling (se eksempel nedenfor). Har vi en oppfatning om at fremtiden vil gi en annen volatilitet enn historien, kan vi ta utgangspunkt i den historiske volatiliteten og legge til eller trekke fra basert på beste skjønn.
Implisitt volatilitet
Ved denne tilnærmingsmåten observeres markedsverdien på opsjoner med den aktuelle aksje som underliggende. Basert på velkjente opsjonsprisingsmodeller kan den implisitte volatiliteten beregnes ved å snu formelen siden verdien er gitt.
Skjønn
Ved skjønn må begivenheter i opsjonens løpetid som kan ha betydning for opsjonens verdi, vurderes. Slike hendelser kan være både selskapsspesifikke og knyttet til økonomiske forhold generelt.
Volatilitet som beskrevet her er standardavviket til aksjens avkastning. Standardavviket til aksjens avkastning er kvadratroten av variansen til aksjens avkastning. Variansen til avkastningen (var S) sier noe om aksjekursens spredning og er et mål på sannsynlig eller forventet avvik fra gjennomsnittlig eller forventet aksjekurs.
Vi har at var S = S E(S-u)2 og s = var S hvor:
1
E = antatte observasjoner
S = observert daglig avkastning
u = gjennomsnittlig avkastning pr. dag
Dersom fordelingen til S er godt sentrert om sin forventning u, vil Σ (S-u)2 med stor sannsynlighet bli liten og Σ E(S-u)2 blir dermed også liten. Omvendt, dersom fordelingen er lite sentrert om forventningen vil Σ (S-u)2 bli stor og følgelig også Σ E(S-u)2 stor.
Av formelen for varians går det frem at variansen alltid er et ikke-negativt tall, og at variansen til aksjens avkastning er null dersom kursen er konstant (lik u).
For å illustrere hvordan std. avik beregnes kan vi se på følgende enkle eksempel:
Observasjoner: 3,5,4,7,6
Gjennomsnitt: 5,0
Varians1 : (3-5)2+(5-5)2+(4-5)2+(7-5)2+(6-5)2=2,5
5-1
Standardavvik: √ 2,5=1,58
I eksemplet nedenfor illustreres bruk av historisk observert volatilitet i aksjen. Aksjekursen i eksemplet er observert 25 ganger siste måned, dvs. daglige observasjoner i en måned. Basert på daglig utvikling i aksjekursen beregnes avkastning per dag (S).
Dersom vi betegner avkastning og aksjekurs på tidspunkt t med henholdsvis Rt og Kt, har vi følgende sammenheng; Rt = (Kt - Kt-1)/Kt-1; avkastning i prosent beregnes som ln (Rt).
Avkastning 3. april blir dermed; (28-29)/29 = 0,9655, mens avkastning i prosent blir
ln (0,9655) = - 0,035 eller -3,5%
Standardavviket til aksjens avkastning beregnes ved hjelp av formelen STDEV i excel. Nøyaktigheten i beregningen vil øke med lengden på perioden hvor observasjonene gjøres.
Variansen, dvs. volatiliteten, er beregnet per dag i eksemplet over. Denne gjøres som illustrert i eksemplet over om til volatilitet per år (σ p.a.) for bruk, for eksempel i
Black-Scholes-modellen. Vi har følgende sammenheng:
σ p.a. = σ daglig 365
Som vist i eksemplet over blir volatilitet per år 0,029*· √ 365 = 0,562.
Vi har her begrenset oss til å illustrere praktisk beregning av volatilitet ved å bruke et enkelt eksempel. Et mer omfattende eksempel finnes på følgende web-adresse:
www.ey.com/global/content.nsf/Norway/IFRS2_Verdsettelse
